有限数学示例

$(y + 2) (y - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

解题步骤 1

使用 FOIL 方法展开 $(y + 2) (y - 6)$ 。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$(y (y - 6) + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

解题步骤 2

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$(y^{2} + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

解题步骤 2.1.2

将 $- 6$ 移到 $y$ 的左侧。

$(y^{2} - 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

解题步骤 2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$(y^{2} - 6 y + 2 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

解题步骤 2.2

将 $- 6 y$ 和 $2 y$ 相加。

$(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

解题步骤 3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$ 。

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

合并 $y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.1

按照 $y^{2} \cdot 12$ 和 $- 12 y^{2}$ 重新排列因数。

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + 12 y^{2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.1.2

从 $12 y^{2}$ 中减去 $12 y^{2}$ 。

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 + 0 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.1.3

将 $y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12$ 和 $0$ 相加。

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{2 + 2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y^{4} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$y^{4} - 4 y^{2} y - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.3

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

移动 $y$ 。

$y^{4} - 4 (y \cdot y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.3.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{4} - 4 (y^{1} y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{4} - 4 y^{1 + 2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

移动 $y^{2}$ 。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.4.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 4.2.4.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y^{1}) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{2 + 1} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y \cdot y - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.6

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

移动 $y$ 。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.6.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.7

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.8

将 $12$ 乘以 $- 4$ 。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.9

将 $- 4$ 乘以 $- 12$ 。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 12 \cdot 12$

解题步骤 4.2.10

将 $- 12$ 乘以 $12$ 。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$

解题步骤 4.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.3.1

合并 $y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $- 48 y$ 和 $48 y$ 相加。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} + 0 - 144$

解题步骤 4.3.1.2

将 $y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

解题步骤 4.3.2

从 $- 4 y^{3}$ 中减去 $4 y^{3}$ 。

$y^{4} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

解题步骤 5

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.1

将 $y^{4}$ 重写为 ${(y^{2})}^{2}$ 。

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

解题步骤 5.2

将 $16 y^{2}$ 重写为 ${(4 y)}^{2}$ 。

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - 144$

解题步骤 5.3

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

解题步骤 5.4

重写多项式。

${(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - 144$

解题步骤 5.5

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = y^{2}$ 和 $b = 4 y$ 。

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 144$

解题步骤 6

将 $144$ 重写为 $12^{2}$ 。

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 12^{2}$

解题步骤 7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y^{2} - 4 y$ 和 $b = 12$ 。

$(y^{2} - 4 y + 12) (y^{2} - 4 y - 12)$

解题步骤 8

因数。

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解题步骤 8.1

使用 AC 法来对 $y^{2} - 4 y - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 4$ 。

$- 6, 2$

解题步骤 8.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(y^{2} - 4 y + 12) ((y - 6) (y + 2))$

解题步骤 8.2

去掉多余的括号。

$(y^{2} - 4 y + 12) (y - 6) (y + 2)$

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